Коэффициент корреляции: что нужно знать, формула, пример расчёта в excel

Критерии и методы

КРИТЕРИЙ СПИРМЕНА

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена – это непараметрический метод, который используется с целью статистического изучения связи между явлениями. В этом случае определяется фактическая степень параллелизма между двумя количественными рядами изучаемых признаков и дается оценка тесноты установленной связи с помощью количественно выраженного коэффициента.

Чарльз Эдвард Спирмен

1. История разработки коэффициента ранговой корреляции

Данный критерий был разработан и предложен для проведения корреляционного анализа в 1904 году Чарльзом Эдвардом Спирменом, английским психологом, профессором Лондонского и Честерфилдского университетов.

2. Для чего используется коэффициент Спирмена?

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена используется для выявления и оценки тесноты связи между двумя рядами сопоставляемых количественных показателей. В том случае, если ранги показателей, упорядоченных по степени возрастания или убывания, в большинстве случаев совпадают (большему значению одного показателя соответствует большее значение другого показателя — например, при сопоставлении роста пациента и его массы тела), делается вывод о наличии прямой корреляционной связи. Если ранги показателей имеют противоположную направленность (большему значению одного показателя соответствует меньшее значение другого — например, при сопоставлении возраста и частоты сердечных сокращений), то говорят об обратной связи между показателями.

1. Коэффициент корреляции Спирмена обладает следующими свойствами:
2. Коэффициент корреляции может принимать значения от минус единицы до единицы, причем при rs=1 имеет место строго прямая связь, а при rs= -1 – строго обратная связь.
3. Если коэффициент корреляции отрицательный, то имеет место обратная связь, если положительный, то – прямая связь.
4. Если коэффициент корреляции равен нулю, то связь между величинами практически отсутствует.
5. Чем ближе модуль коэффициента корреляции к единице, тем более сильной является связь между измеряемыми величинами.

3. В каких случаях можно использовать коэффициент Спирмена?

В связи с тем, что коэффициент является методом непараметрического анализа, проверка на нормальность распределения не требуется.

Сопоставляемые показатели могут быть измерены как в непрерывной шкале (например, число эритроцитов в 1 мкл крови), так и в порядковой (например, баллы экспертной оценки от 1 до 5).

Эффективность и качество оценки методом Спирмена снижается, если разница между различными значениями какой-либо из измеряемых величин достаточно велика. Не рекомендуется использовать коэффициент Спирмена, если имеет место неравномерное распределение значений измеряемой величины.

4. Как рассчитать коэффициент Спирмена?

Расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена включает следующие этапы:

1. Сопоставить каждому из признаков их порядковый номер (ранг) по возрастанию или убыванию.
2. Определить разности рангов каждой пары сопоставляемых значений (d).
3. Возвести в квадрат каждую разность и суммировать полученные результаты.
4. Вычислить коэффициент корреляции рангов по формуле:

Определить статистическую значимость коэффициента при помощи t-критерия, рассчитанного по следующей формуле:

5. Как интерпретировать значение коэффициента Спирмена?

При использовании коэффициента ранговой корреляции условно оценивают тесноту связи между признаками, считая значения коэффициента меньше 0,3 — признаком слабой тесноты связи; значения более 0,3, но менее 0,7 — признаком умеренной тесноты связи, а значения 0,7 и более — признаком высокой тесноты связи.

Также для оценки тесноты связи может использоваться шкала Чеддока:

_xy
Теснота (сила) корреляционной связи
менее 0.3
слабая
от 0.3 до 0.5
умеренная
от 0.5 до 0.7
заметная
от 0.7 до 0.9
высокая
более 0.9
весьма высокая

Статистическая значимость полученного коэффициента оценивается при помощи t-критерия Стьюдента. Если расчитанное значение t-критерия меньше табличного при заданном числе степеней свободы, статистическая значимость наблюдаемой взаимосвязи — отсутствует. Если больше, то корреляционная связь считается статистически значимой.

Множественная корреляция, её коэффициент

Множественная корреляция — это вероятностная зависимость между одной величиной с
одной стороны, и одновременно несколькими другими ,
с другой стороны.
То есть, в отличие от парной корреляции, при которой
на изменения зависимой (результирующей) переменной влияет одна независимая (объясняющая) переменная,
при множественной корреляции независимых (объясняющих) переменных две или больше.

Цель корреляционного анализа в случае множественной корреляции — установить, есть ли зависимость между
переменными и насколько тесно связаны между собой зависимая переменная, с одной стороны, и независимые
переменные, с другой стороны, и зависят ли друг от друга независимые переменные .

Для того чтобы можно было бы применять модель множественной линейной регрессии, прежде, при анализе
множественной корреляции должны быть установлены следующие факты:

• зависимая переменная тесно зависит от независимых переменных (тесноту связи, как и в случае
  парной корреляции, показывают );
• нет тесной зависимости между независимыми переменными.

Коэффициент множественной корреляции в случае двухфакторной корреляции рассчитывается по следующей формуле:

.

Коэффициенты множественной корреляции между зависимой переменной
и независимыми переменными
записываются в корреляционную матрицу:

Пример 1. Аналитик предприятия решил проверить факторы, которые
влияют на размер заработной платы сотрудников . Предварительно
в качестве объясняющих факторов выбраны: возраст сотрудника ,
стаж работы , оценка теста для приёма
на работу и число подчинённых
сотрудников . Случайно были выбраны
200 сотрудников, данные которых были обобщены. В результате была получена следующая корреляционная матрица:

Установить, какие переменные можно выбрать как независимые, для того, чтобы далее
можно было бы строить модель множественной регрессии.

Решение.

Корреляционная матрица показывает, что между переменными:

• и — слабая линейная связь: -0,27;
• и — средне тесная положительная линейная связь: 0,78;
• и — тесная отрицательная линейная связь: -0,83;
• и — средне тесная линейная связь: 0,65;
• и — тесная отрицательная линейная связь: -0,89;
• и — слабая линейная связь: 0,17;
• и — слабая линейная связь: -0,21.

Таким образом, не следует включать в число переменных, влияющих на размер заработной
платы возраст сотрудников . Так как
между независимыми переменными и
установлена тесная отрицательная связь,
не включаем в число переменных, влияющих на размер заработной платы стаж работы .
Выбираем в качестве независимых переменных оценку теста для приёма
на работу и число подчинённых
сотрудников .

Чтобы установить тесноту связи между заработной платой сотрудников ,
с одной стороны, и оценкой теста для приёма
на работу и числом подчинённых
сотрудников , с другой стороны,
вычислим коэффициент множественной (двухфакторной) корреляции:

Таким образом, между заработной платой сотрудников, с одной стороны, и
оценкой теста для приёма на работу и числом подчинённых, с другой стороны, существует тесная линейная
связь.

Как показывает пример выше, в исследованиях поведения человека,
как и во многих других направлениях, важно установить, какие факторы из многих действительно влияют на
результат при учете влияния всех остальных факторов

Выборочный коэффициент корреляции

Коэффициент корреляции обычно рассчитывают по выборке. Значит, у аналитика в распоряжении не истинное значение, а оценка, которая всегда ошибочна. Если выборка была репрезентативной, то истинное значение коэффициента корреляции находится где-то относительно недалеко от оценки. Насколько далеко, можно определить через доверительные интервалы.

Согласно Центральное Предельной Теореме распределение оценки любого показателя стремится к нормальному с ростом выборки. Но есть проблемка. Распределение коэффициента корреляции вблизи придельных значений не является симметричным. Ниже пример распределения при истинном коэффициенте корреляции ρ = 0,86.

Предельное значение не дает выйти за 1 и, как бы «поджимает» распределение справа. Симметричная ситуация наблюдается, если коэффициент корреляции близок к -1.

В общем рассчитывать на свойства нормального распределения нельзя. Поэтому Фишер предложил провести преобразование выборочного коэффициента корреляции по формуле:

Распределение z для тех же r имеет следующий вид.

Намного ближе к нормальному. Стандартная ошибка z равна:

Далее исходя из свойств нормального распределения несложно найти верхнюю и нижнюю границы доверительного интервала для z. Определим квантиль стандартного нормального распределения для заданной доверительной вероятности, т.е. количество стандартных отклонений от центра распределения.

c_γ – квантиль стандартного нормального распределения;N-1 – функция обратного стандартного распределения;γ – доверительная вероятность (часто 95%).Затем рассчитаем границы доверительного интервала.

Нижняя граница z:

Верхняя граница z:

Теперь обратным преобразованием Фишера из z вернемся к r.Нижняя граница r:

Верхняя граница r:

Это была теоретическая часть. Переходим к практике расчетов.

Что такое корреляционно-регрессионный анализ (КРА) предприятия?

Корреляционно-регрессионный анализ (КРА) на предприятиях используется для выявления связей между несколькими факторами хозяйственной деятельности и оценки степени взаимозависимости выбранных для анализа критериев. Методика использует два алгоритма действий:

1. Корреляция, которая направлена на построение моделей связей.
2. Регрессия, используемая для прогнозирования событий на основе наиболее подходящей для ситуации модели связей.

Анализ проводится в несколько шагов:

• постановка задач проведения исследования;
• массовый сбор информации: систематизация статистических данных по конкретным показателям деятельности предприятия в динамике за несколько периодов;
• этап создания модели связей;
• анализ функционирования модели, оценка ее эффективности.

Для проведения КРА необходимо использовать показатели в едином измерителе, все они должны иметь числовое значение.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ! Для достоверности данных и работоспособности модели сведения должны быть собраны за длительный отрезок времени. Для полноты анализа надо устранить количественные ограничения на показатели модели, должно соблюдаться условие постоянной временной и территориальной структуры рассматриваемой совокупности элементов

Для полноты анализа надо устранить количественные ограничения на показатели модели, должно соблюдаться условие постоянной временной и территориальной структуры рассматриваемой совокупности элементов.

Какие существуют особенности анализа показателей финансово-хозяйственной деятельности экономического субъекта в рамках обязательного аудита?

Предвзятость средств массовой информации

Рассмотрим, как наличие корреляционной связи может быть неправильно истолковано. Группу британских студентов, отличающихся плохим поведением, опросили относительно того, курят ли их родители. Потом тест опубликовали в газете. Результат показал сильную корреляцию между курением родителей и правонарушениями их детей. Профессор, который проводил это исследование, даже предложил поместить на пачки сигарет предупреждение об этом. Однако существует целый ряд проблем с таким выводом. Во-первых, корреляция не показывает, какая из величин является независимой. Поэтому вполне можно предположить, что пагубная привычка родителей вызвана непослушанием детей. Во-вторых, нельзя с уверенностью сказать, что обе проблемы не появились из-за какого-то третьего фактора. Например, низкого дохода семей. Следует отметить эмоциональный аспект первоначальных выводов профессора, который проводил исследование. Он был ярым противником курения. Поэтому нет ничего удивительного в том, что он интерпретировал результаты своего исследования именно так.

Как вы можете рассчитать корреляцию с помощью Excel? — 2019

a:

Корреляция измеряет линейную зависимость двух переменных. Измеряя и связывая дисперсию каждой переменной, корреляция дает представление о силе взаимосвязи. Или, говоря иначе, корреляция отвечает на вопрос: сколько переменная A (независимая переменная) объясняет переменную B (зависимую переменную)?

Формула корреляции

Корреляция объединяет несколько важных и связанных статистических понятий, а именно дисперсию и стандартное отклонение. Разница — дисперсия переменной вокруг среднего, а стандартное отклонение — квадратный корень дисперсии.

Формула:

Поскольку корреляция требует оценки линейной зависимости двух переменных, то, что действительно необходимо, — это выяснить, какая сумма ковариации этих двух переменных и в какой степени такая ковариация отраженные стандартными отклонениями каждой переменной в отдельности.

Общие ошибки с корреляцией

Самая распространенная ошибка — предполагать, что корреляция, приближающаяся +/- 1, статистически значима. Считывание, приближающееся +/- 1, безусловно увеличивает шансы на фактическую статистическую значимость, но без дальнейшего тестирования это невозможно узнать.

Статистическое тестирование корреляции может усложняться по ряду причин; это совсем не так просто. Критическое предположение о корреляции состоит в том, что переменные независимы и связь между ними является линейной.

Вторая наиболее распространенная ошибка — забыть нормализовать данные в единую единицу. Если вычислять корреляцию по двум бетам, то единицы уже нормализованы: сама бета является единицей

Однако, если вы хотите скорректировать акции, важно, чтобы вы нормализовали их в процентном отношении, а не изменяли цены. Это происходит слишком часто, даже среди профессионалов в области инвестиций

Для корреляции цен на акции вы, по сути, задаете два вопроса: каково возвращение за определенное количество периодов и как этот доход коррелирует с возвратом другой безопасности за тот же период? Это также связано с тем, что корреляция цен на акции затруднена: две ценные бумаги могут иметь высокую корреляцию, если доход составляет ежедневно процентов за последние 52 недели, но низкая корреляция, если доход ежемесячно > изменения за последние 52 недели. Какая из них лучше»? На самом деле нет идеального ответа, и это зависит от цели теста. ( Улучшите свои навыки excel, пройдя курс обучения Excel в Академии Excel. ) Поиск корреляции в Excel

Существует несколько методов расчета корреляции в Excel

Самый простой способ — получить два набора данных и использовать встроенную формулу корреляции:

Это удобный способ расчета корреляции между двумя наборами данных. Но что, если вы хотите создать корреляционную матрицу во множестве наборов данных? Для этого вам нужно использовать плагин анализа данных Excel. Плагин можно найти на вкладке «Данные» в разделе «Анализ».

Выберите таблицу возвратов. В этом случае наши столбцы имеют названия, поэтому мы хотим установить флажок «Ярлыки в первой строке», поэтому Excel знает, как обрабатывать их как заголовки. Затем вы можете выбрать вывод на том же листе или на новом листе.

Как только вы нажмете enter, данные будут автоматически сделаны. Вы можете добавить текст и условное форматирование, чтобы очистить результат.

Литература

• Гмурман В. Е.<span title=»Статья «Гмурман, Владимир Ефимович» в русском разделе отсутствует»>ru</span>_uk. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. — 10-е издание, стереотипное. — Москва: Высшая школа, 2004. — 479 с. — ISBN 5-06-004214-6.
• Елисеева И. И., Юзбашев М. М. Общая теория статистики: Учебник / Под ред. И. И. Елисеевой. — 4-е издание, переработанное и дополненное. — Москва: Финансы и Статистика, 2002. — 480 с. — ISBN 5-279-01956-9.
• Общая теория статистики: Учебник / Под ред. Р. А. Шмойловой. — 3-е издание, переработанное. — Москва: Финансы и Статистика, 2002. — 560 с. — ISBN 5-279-01951-8.
• Суслов В. И., Ибрагимов Н. М., Талышева Л. П., Цыплаков А. А. Эконометрия. — Новосибирск: СО РАН, 2005. — 744 с. — ISBN 5-7692-0755-8.

Корреляция и взаимосвязь величин

Значительная корреляция между двумя случайными величинами всегда является свидетельством существования некоторой статистической связи в данной выборке, но эта связь не обязательно должна наблюдаться для другой выборки и иметь причинно-следственный характер. Часто заманчивая простота корреляционного исследования подталкивает исследователя делать ложные интуитивные выводы о наличии причинно-следственной связи между парами признаков, в то время как коэффициенты корреляции устанавливают лишь статистические взаимосвязи. Например, рассматривая пожары в конкретном городе, можно выявить весьма высокую корреляцию между ущербом, который нанёс пожар, и количеством пожарных, участвовавших в ликвидации пожара, причём эта корреляция будет положительной. Из этого, однако, не следует вывод «увеличение количества пожарных приводит к увеличению причинённого ущерба», и тем более не будет успешной попытка минимизировать ущерб от пожаров путём ликвидации пожарных бригад. Корреляция двух величин может свидетельствовать о существовании общей причины, хотя сами явления напрямую не взаимодействуют. Например, обледенение становится причиной как роста травматизма из-за падений, так и увеличения аварийности среди автотранспорта. В этом случае две величины (травматизм из-за падений пешеходов и аварийность автотранспорта) будут коррелировать, хотя они не связаны причинно-следственно друг с другом, а лишь имеют стороннюю общую причину — гололедицу.

В то же время, отсутствие корреляции между двумя величинами ещё не значит, что между ними нет никакой связи. Например, зависимость может иметь сложный нелинейный характер, который корреляция не выявляет.

Некоторые виды коэффициентов корреляции могут быть положительными или отрицательными. В первом случае предполагается, что мы можем определить только наличие или отсутствие связи, а во втором — также и её направление. Если предполагается, что на значениях переменных задано отношение строгого порядка, то отрицательная корреляция — корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с уменьшением другой. При этом коэффициент корреляции будет отрицательным. Положительная корреляция в таких условиях — это такая связь, при которой увеличение одной переменной связано с увеличением другой переменной. Возможна также ситуация отсутствия статистической взаимосвязи — например, для независимых случайных величин.

Открытие загрузочной флешки через BIOS

Мало только сделать загрузочный флеш-накопитель. Случается так, что система перестаёт работать. В таком случае образ, записанный на флешку, необходимо открыть через настройки BIOS. Независимо от времени выпуска BIOS, названия, находящиеся в нем, остаются практически неизменными.

После того как вы зашли в BIOS, необходимо открыть «Advanced BIOS Features», в которой размещены устройства, в порядке запуска. Например, сначала загружается жесткий диск, при его отказе система обращается к CDROM. Не найдя системы и на нем, она переходит к USB-HDD. Что нам и надо. Поставив на первое место USB-HDD, сохраняем настройки и выходим из BIOS. При перезагрузке появится меню установки ОС. На некоторых современных системных платах существует специальное Boot Menu, войти в которое можно при загрузке ПК, нажимая F8 или F12, в зависимости от фирмы-изготовителя «материнки», где очень просто можно выбрать загрузку ПК с записанного USB-накопителя. При загрузке ОС через BIOS может возникнуть несколько проблем, таких как:

1. Системная плата не может поддерживать загрузку с внешнего устройства. Это возможно при таком случае, когда «материнка» была сделана до 2003 года;
2. Обнаружение некорректной загрузочной флеш-карты. Вероятно, при записи операционной системы были допущены какие-либо ошибки. Проверьте загрузочную флешку на другом ПК;
3. Отключение контроллера USB в BIOS.

§ 8. Методика вычисления выборочного коэффициента корреляции

Пусть требуется
по данным корреляционной таблицы
вычислить выборочный коэффициент
корреляции. Можно значительно упростить
расчет, если перейти к условным вариантам
(при этом величина r_в
не изменится)

u_i=(x_i—С₁)/h₁
и υ_j=(y_j—С₂)/h₂.

В этом случае
выборочный коэффициент корреляции
вычисляют по формуле

.

Величины u,
υ

и
можно найти методом произведений (см.
гл. XVII, § 4), а при малом числе данных—
непосредственно исходя из определений
этих величин. Остается указать способ
вычисления ,
где —
частота пары
условных вариант (u,
υ).

Можно доказать,
что справедливы формулы (см. пояснение
в конце параграфа):

,
где
,

,
где
.

Для контроля
целесообразно выполнить расчеты по
обеим формулам и сравнить результаты;
их совпадение свидетельствует о
правильности вычислений.

Покажем на примере,
как пользоваться приведенными формулами.

Пример 1.
Вычислить ^ «по»» П0
данным корреляционной табл. 14.

Таблица 14

Решение. Перейдем
к условным вариантам: u_i=(x_i—С₁)/h₁
= = (x_i
—40)/10 (в качестве
ложного нуля С₁
взята варианта х=40.
расположенная
примерно в середине вариационного ряда;
шаг h₁
равен разности
между двумя соседними вариантами: 20—10
= 10) и υ_j=(y_j—С₂)/h₂
= (y_j
—35)/10 (в качестве
ложного нуля С₂
взята варианта у =35, расположенная в
середине вариационного ряда; шаг h₂
равен разности между двумя соседними
вариантами: 25—15=10).

Составим
корреляционную таблицу в условных
вариантах. Практически это делают так:
в первом столбце вместо ложного нуля
С₂
(варианты 35) пишут 0; над нулем последовательно
записывают —1,
—2; под нулем пишут 1, 2. В первой строке
вместо ложного нуля С₁
(варианты 40) пишут 0; слева от нуля
последовательно записывают —1, —2, —3;
справа от нуля пишут 1, 2. Все остальные
данные переписывают из первоначальной
корреляционной таблицы. В итоге получим
корреляционную табл. 15 в условных
вариантах.

Таблица
15

Теперь для вычисления
искомой суммы составим
расчетную табл. 16. Пояснения к составлению
табл. 16:

1. В каждой клетке,
в которой частота n_uυ
≠ 0, записывают
в правом верхнем углу произведение
частоты n_uυ
на варианту u.
Например, в
правых верхних углах клеток первой
строки записаны произведения: 5·(—3) =
—15; 7·(—2) = —14.

2. Складывают все
числа, помещенные в правых верхних углах
клеток одной строки и их сумму записывают
в клетку этой же строки столбца u.
Например, для первой строки
U
== —15+(—14)= —29.

3. Умножают варианту
υ
на U
и полученное произведение заци-сывают
в последнюю клетку той же строки, т. е.
в клетку столбца υU.
Например,
в первой строке таблицы υ
= —2,
U
= —29; следовательно, υU
= (—2)·(—29) = 58.

4. Наконец, сложив
все числа столбца υU,
получают сумму
,
которая равна искомой сумме .
Например, для табл.
16 имеем
=
169; следовательно, искомая сумма =
169.

Таблица 16

Для контроля
аналогичные вычисления производят по
столбцам:

произведения n_uυυ
записывают в левый нижний угол клетки,
содержащей частоту n_uυυ
≠ 0; все числа,
помещенные в левых нижних углах клеток
одного столбца, складывают и их сумму
записывают в строку V;
далее умножают каждую варианту u
на V
и результат записывают в клетках
последней строки.

Наконец, сложив
все числа последней строки, получают
сумму
,
которая также равна искомой сумме .
Например, для табл.
16 имеем
=
169; следовательно,= 169.

Теперь, когда мы
научились вычислять ,
приведем пример на отыскание выборочного
коэффициента корреляции.

Hard Reset средствами самой системы Android