Сложные проценты

Формулы сложных процентов по вкладам и примеры решения задач

Формулы сложных процентов в математике встречаются постоянно, особенно если речь идёт об экономических задачах. Представьте, что вам нужно рассчитать прибыль от банковского вклада за несколько лет. Для этого понадобится такая информация:

• начальная сумма вклада (K нулевая или К)
• ставка доходности (R) — переводится из процентов в число (10% = 0.1)
• количество периодов реинвестирования, то есть лет (n)

А конечную сумму вклада мы назовем просто K. Её можно рассчитать по формуле:

Конечная сумма при расчёте сложных процентов по вкладу

Пример задачи: Инвестор П. положил на депозит в банке 10000$ под 10% годовых. Какую прибыль он получит через 5 лет?

Для начала, давайте узнаем конечную сумму вклада по формуле:

K = 10000$ * (1 + 0.1)5 = 16105.1$

Прибыль (P) — это разница между конечной и стартовой суммой вклада. Считаем:

P = K — К = 16105.1$ — 10000$ = 6105.1$

Можно даже подсчитать прибыль в процентах, для этого нужно найти не разницу, а отношение между конечной и стартовой суммой:

P (%) = K/К — 1 = 16105.1$ / 10000$ — 1= 61.05%

Используя формулу сложных процентов, вы всегда можете предсказать результат инвестирования в будущем. Впрочем, бывают ситуации, когда вам нужно узнать не конечную, а стартовую сумму вклада. Её можно найти по той же формуле сложных процентов по вкладам, но надо немного её изменить:

Формула расчёта сложных процентов для поиска стартовой суммы вклада

Пример задачи: Инвестор В. хочет узнать, сколько ему надо вложить рублей под 20% годовых сейчас, чтобы через 3 года стать рублёвым миллионером. 

Используем формулу:

К = 1000000₽ / (1 + 0.2)3 =  578703.7₽

Кроме суммы вклада, через формулу можно найти и остальные параметры. Например, зная стартовую и конечную сумму, можно узнать процентную ставку или количество периодов реинвестирования.

Начнем с процентной ставки:

Формула расчёта сложных процентов по вкладу для поиска нужной процентной ставки

Пример задачи: Инвестор Р. хочет выяснить, вклад с какой процентной ставкой ему нужен, чтобы заработать 10000$ за 3 года, изначально вложив 20000$.

Для начала нужно посчитать конечную сумму, так как мы знаем только прибыль:

K = К+ P = 20000$ + 10000$ = 30000$

А теперь можно использовать формулу:

R = (30000$ / 20000$) ^ 1/3 — 1 = 14.47%

Чтобы получить такую доходность, банковский депозит не подойдёт, а вот консервативный ПАММ-счёт — вполне.

Напоследок давайте выясним, как рассчитать, на какой срок нужно положить деньги, чтобы получить нужную нам прибыль. Без логарифмов не обойтись:

Расчёт сложных процентов по вкладу — поиск нужного количества периодов реинвестирования

Пример задачи: сколько лет нужно держать деньги на депозите в банке под 25% годовых, чтобы 50000 рублей превратить в 100000?

Подставляем в формулу:

n = log_1+0.25 100000/50000 = 3.11 лет

Кстати, если речь идёт о банке, то 3.11 лет округляются до 4 — вы обычно не можете снять свои деньги до окончания периода действия вклада. Условия конкретного инвестиционного инструмента всегда стоит учитывать при решении подобных задач.

Кроме рассмотренных нами задач существуют и более сложные. Например, довольно распространённая история — у инвестора есть вклад с возможностью пополнения. Часть каждой зарплаты отправляется туда и надо выяснить, какой же будет результат по итогам.

Пример задачи: Инвестор З. вложил 1000$ и откладывает 50$ каждый месяц. Процентная ставка — 1% в месяц. Какая сумма накопится через 5 лет?

Чтобы узнать результат, нужно создать табличку:

Расчёт результатов инвестирования с доливками, с учётом сложных процентов

В первый месяц сумма инвестиций составила 1000$, на неё начислен 1% — итого 1010$. Во второй месяц работают уже 1010$ и еще 50$, которые инвестор внёс дополнительно. Итого — 1070.10. И так далее…

Разумеется, считать эти таблички каждый раз — довольно напряжно, решать логарифмы — тем более. Поэтому специально для вас при помощи программы Microsoft Excel я сделал небольшой файлик для решения задач по сложным процентам.

Формулы расчета

Раз есть сложный, значит, есть и простой процент. Несправедливо, если мы не разберем младшего брата нашего героя.

Простой процент

Простой процент каждый расчетный период (месяц, квартал, год) начисляется только на первоначальную сумму. Никакого эффекта “снежного кома” он не дает. Сумма увеличивается медленно.

Формула расчета:

S_N = S_П * (1 + % ст * N), где

• S_N – сумма в конце периода N;
• S_П – первоначальная сумма капитала;
• % ст – процентная ставка (доход);
• N – расчетный период.

Формула справедлива, если речь идет о начислении дохода раз в год. Например, положили на счет 100 000 ₽ под 10 % годовых на 10 лет. В конце срока получите: 100 000 * (1 + 0,1 * 10) = 200 000 ₽.

В реальной жизни понятие простого % применяется, например, в экономических расчетах по банковским вкладам без учета капитализации. В договоре обязательно указывается годовая процентная ставка. Проценты начисляются за каждый день нахождения денег на вкладе. А получать доход вкладчик может ежемесячно, ежеквартально или раз в год.

В этом случае формула примет вид:

S_N = S_П * (1 + % ст * Д / 365), где

Д – количество полных дней нахождения денег на депозите.

Например:

1. Положили на счет 100 000 ₽ под 10 % годовых на 91 день. В конце срока получите: 100 000 * (1 + 0,1 * 91 / 365) = 102 493,15 ₽.
2. На 180 дней: 100 000 * (1 + 0,1 * 180 / 365) = 104 931,51 ₽.
3. На 2 года (730 дней): 100 000 * (1 + 0,1 * 730 / 365) = 120 000 ₽.

Сложный процент с начислением дохода 1 раз в год

По методу сложных процентов при начислении дохода 1 раз в год будущая сумма определяется по формуле:

S_N = S_П * (1 + % ст)N

Пример. В банк положили 100 000 ₽ под 10 % годовых на 2 года. Будущая стоимость вклада составит: 100 000 * (1 + 0,1)2 = 121 000 ₽.

Сложный процент с начислением дохода чаще, чем 1 раз в год

Доход может начисляться ежемесячно, ежеквартально или 2 раза в год. Формула меняется:

S_N = S_N * (1 + % ст / К)N*К, где

К – частота начисления дохода (12, 4 или 2 раза в год).

Пример. В банк положили 100 000 ₽ под 10 % годовых на 2 года с ежемесячным начислением процентов. Будущая стоимость вклада составит: 100 000 * (1 + 0,1/12)24 = 122 039,1 ₽.

Как считать проценты на калькуляторе: простейшие способы

Учитывая, что сегодня так называемые «счетные машинки» находятся на столе у любого школьника, продавца или бухгалтера, а также на любом телефоне и компьютере, нам не остается ничего другого, как считать проценты на калькуляторе. Мы не зря в начале статьи вспомнили школу и ваш дружный (а может и не дружный) шестой класс. Отбросив эти романтические переживания, перейдем к подсчету процентов.

Как вычислить процент от суммы: 1 способ

Давайте найдем необходимый процент с помощью простого примера. Допустим, вам необходимо найти 25% от суммы в 1000 рублей. Решаем следующий пример:

1000*25:100= 250

Как вычислить процент от суммы: 2 способ

Этот подсчет еще проще:

1000*0,25=250

Как вычислить процент от суммы: 3 способ

Ну и вычисление для совсем ленивых:

1000*25%=250

Вот вы и узнали простые способы, как посчитать проценты на калькуляторе. Мы уверены, что вы о них знали со школьной скамьи, и просто напомнили вам. Теперь вы можете применить эти знания и без проблем вычислить проценты по кредиту или по вкладу, самостоятельно подсчитав сумму процентов.

Как считать проценты в excel?

Если у вас под рукой имеется компьютер или ноутбук с операционной системой Windows, вам не составит большого труда подсчитать процент от необходимой суммы. Приведем для этого простой пример.

Нам необходимо найти 8% от 358.

1. Открываем Excel.
2. Находим свободную строку.
3. Вводим данные.
4. Ставим знак «=» и делаем подсчет.
5. Получаем 28,64.

Аналогично к подсчетам на калькуляторе, вы можете ввести в Excel знак %, и это тоже будет правильно.

Иногда нам необходимо узнать процентный показатель от суммы.

1. К примеру, у нас есть список сотрудников и сумма, на которую они произвели продаж. Помимо этого, известна сумма возвратов. По этим данным мы рассчитываем процент возвратов по товарам.
2. Просчитаем процент для первого показателя в списке — процент возвратов некоего Петрова.
3. Для начала составляем пропорцию, где 100% — это 35682(сумма продаж Петрова). х% — 2023 (сумма возвратов Петрова).
4. Решаем эту пропорцию по формуле, известной нам со школы.
5. Прописываем формулу в ячейке D2 и спускаемся немного вниз =C2*100%/B2.
6. К ячейке, в которой высветился результат, применяем формат «Процентный». Выделяем ячейки, правой кнопкой жмем на любой из них и выбираем «Формат». Во вкладке «Число» выбираем «Процентный». Система автоматически пропишет значок %.

7. Применив нашу формулу ко всем данным, получаем результат.

Видео: как посчитать проценты от суммы?

Увеличение и уменьшение масштаба документа Word с помощью панели масштабирования

Необходимость увеличения и уменьшения масштаба документа Word встречается довольно часто. Microsoft ставит панель масштабирования справа от строки состояния в нижней части окна для быстрого доступа.

Чтобы использовать панель масштабирования, щелкните и перетащите ползунок влево или вправо, чтобы уменьшить или увеличить соответственно. При этом Вы заметите, что процентное соотношение страниц уменьшается или увеличивается.

Также можно щелкнуть знак минус (-) или плюс (+), чтобы уменьшить или увеличить масштаб с шагом 10 процентов.

Если Вы увеличите изображение до такой степени, что части документа Word больше не будут видны горизонтально, то в нижней части страницы появится горизонтальная полоса прокрутки.

Типы задач на проценты

В 5, 6, 7, 8, 9 классах в задачках по математике на проценты сравнивают части одного целого, определяют долю части от целого, ищут целое по части. Давайте рассмотрим все виды задач на проценты.

Тип 1. Нахождение процента от числа

Чтобы найти процент от числа, нужно число умножить на процент.

Задача. За месяц на заводе изготовили 500 стульев. 20% изготовленных стульев не прошли контроль качества. Сколько стульев не прошло контроль качества?

Как решаем: нужно найти 20% от общего количества изготовленных стульев (500).

20% = 0,2

500 * 0,2 = 100

Из общего количества изготовленных стульев контроль не прошли 100 штук.

Тип 2. Нахождение числа по его проценту

Чтобы найти число по его проценту, нужно его известную часть разделить на то, сколько процентов она составляет от числа.

Задачи по поиску процента по числу и числа по его проценту очень похожи. Чтобы не перепутать — внимательно читаем условия, иначе зайдем в тупик или решим неправильно. Если в задании есть слова «который», «что составляет» и «который составляет» — перед нами задача по нахождению числа по его проценту.

Задача. Школьник решил 38 задач из учебника. Что составляет 16% числа всех задач в книге. Сколько всего задач собрано в этом учебнике?

Как решаем: мы не знаем, сколько всего задач в учебнике. Но нам известно, что 38 задач составляют 16% от общего количества. Запишем 16% в виде дроби: 0,16. Далее известную нам часть целого разделим на ту долю, которую она составляет от всего целого.

38/0,16 = 38 * 100/16 = 237,5

Значит 237 задачи включили в этот сборник.

Тип 3. Нахождение процентного отношения двух чисел

Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно ту часть, о которой спрашивается, разделить на общее количество и умножить на 100%.

Задача. В классе учится 25 человек. 10 из них — девочки. Сколько процентов девочек в классе?

Как решаем: возьмем алгоритм из правила выше:

10/25 * 100% = 2/5 * 100% = 2 * 100/5 = 47%

В классе учится 10 девочек — это 47%.

Тип 4. Увеличение числа на процент

Чтобы увеличить число на некоторое количество процентов, нужно найти число, которое выражает нужное количество процентов от данного числа, и сложить его с данным числом.

Формула расчета процента от числа выглядит так:

a = b * ((1 + c) / 100),

где a — число, которое нужно найти,

b — первоначальное значение,

c — проценты.

Задача. В прошлом месяце стикер-пак стоил 110 рублей. А в этом месяце на 12% больше. Сколько стоит стикер-пак?

Как решаем: подставим в формулу данные из условий задачи.

110 * (1 + 12/100) = 110 * 1,12 = 123,2.

Стоимость стикер-пака в этом месяце — 123 рубля 20 копеек.

Тип 5. Уменьшение числа на процент

Чтобы уменьшить число на несколько процентов, нужно найти число, которое выражает нужное количество процентов данного числа, и вычесть его от данного числа.

Формула расчета выглядит так:

a = b * ((1 — c) / 100),

где a — число, которое нужно найти,

b — первоначальное значение,

c — проценты.

Задача. В прошлом году школу закончили 100 ребят. А в это году выпускников на 25 меньше. Сколько выпускников в этом году?

Как решаем: подставим в формулу данные из условий задачи.

100 * (1 – 25/100) = 75

75 выпускников закончат школу в этом году.

Тип 6. Задачи на простые проценты

Простые проценты — метод расчета процентов, при котором начисления происходят на первоначальную сумму вклада или долга.

Формула расчета выглядит так:

S = а * ((1 + у * х)/ 100),

где a — исходная сумма,

S — сумма, которая наращивается,

x — процентная ставка,

y — количество периодов начисления процента.

Задача. Родители взяли в банке кредит 5000 рублей, чтобы купить тебе что-то классное. Кредит на год под 15% ежемесячно. Сколько денег они внесут через год?

Как решаем: подставим в формулу данные из условий задачи.

5000 * (1 + 12 * 15/100) = 14000

Родители через год внесут в банк 14000 рублей.

Тип 7. Задачи на сложные проценты

Сложные проценты — это метод расчета процентов, когда проценты прибыли прибавляют к сумме на остатке каждый месяц. В следующий раз проценты начисляют на эту новую сумму.

Формула расчета выглядит так:

S = а * ((1 + х)/100)y,

где S — наращиваемая сумма,

a — исходная,

x — процентная ставка,

y — количество периодов начисления процента.

Задача. Папа взял в банке кредит 25000 рублей на 3 месяца под 15%. Нам нужно узнать, сколько денег придется заплатить банку по истечении срока кредита.

Как решаем: просто подставим в формулу данные из условий задачи:

25000 * (1 + 15/100)3 = 38021,875 — искомая сумма.

Способы нахождения процента

Универсальная формула для решения задач на проценты:

A * b = C, где A — исходное число, b — проценты, переведенные в десятичную дробь, C — новое число.

Чтобы применить алгоритм, нужно прочитать задачу, отметить, какие два числа нам известны и найти третье.

Есть еще четыре способа поиска процентов. Рассмотрим каждый из них.

Методы решения

Математики представляют величину целым, т.е. в ней полные 100%, а какая-то доля заданной величины – это ее сотая часть. Таким образом, процент — это сотая часть от какого-то полного значения. Например, 1 килограмм – это 100%, а полкилограмма – это 50%.

Определить процент от числа удобно с помощью пропорций. Пусть необходимо будет взять и найти 1 процент от цифры 349, где:

349 = 100%;

х = 1%.

Тут следует быть внимательными, поскольку можно запутаться, что есть что. Чтобы этого избежать, следует всегда писать доли (%) с одной стороны. Лучше всего составлять пропорцию в столбик — определить процент от числа тогда будет удобнее. Найдем х с помощью правила креста:

х = 349*1

х = 349/100

х = 3,39.

Основные формулы

Существует несколько основных формул для решений уравнений с долями.

Как посчитать процент от числа? Если известна величина Х, а определить надо величину Q, которая составляет долю, то представить выражение следует дробью:

Y = X*Q/100%

Как найти число по его доле? Если известна величина X, которая составляет несколько долей от Y, а найти необходимо значение неизвестного Y, то выражение решается с помощью формулы:

Y = X*100%/Q

Q = Y/X*100%

Эти три формулы наиболее часто встречаются при решении различных уравнений с долями, поэтому важно запомнить их и научится быстро применять

Простые и сложные проценты

Инвесторы, которые работают на рынке Форекс, сталкиваются с повторным вложением денег (реинвестированием) постоянно. Если банковские депозиты приносят владельцам прибыль через несколько месяцев или даже год, то на валютном рынке прибыль/убыток появляется после каждой сделки.

Поэтому все, кто интересуется инвестициями на Форексе, будут регулярно работать с простыми и сложными процентами. Давайте же разберемся, что же означают эти понятия.

Простой процент используется в случаях, когда база начисления процентов всегда равна начальной сумме вложений. Это могут быть специальные банковские депозиты, проценты по кредиту. Также простой процент используется, когда инвестор регулярно выводит прибыль — в каждый период времени работает первоначальная сумма.

Каждый раз, когда инвестор хочет несколько раз «прокрутить» свои деньги через инвестиционный инструмент, он сталкивается со сложным процентом. Полученная прибыль на первом круге реинвестируется и проценты уже начисляются на более крупную сумму.

В инвестициях на рынке Форекс сложный процент используется постоянно, потому что сумма вложений меняется после каждой сделки. Многие инвесторы используют тактику «вложил и забыл», оставляя полученную прибыль работать вместе со стартовым вкладом.

Разница между простыми и сложными процентами на первый взгляд кажется не такой уж большой. Но чем больше проходит времени, тем очевиднее становится преимущество сложных процентов:

Простые и сложные проценты на одном графике

Конечно, это всё теория и на практике добиться 30-кратного реинвестирования прибыли совсем непросто. Но факт остаётся фактом — сложные проценты могут сослужить хорошую службу инвестору. И чтобы умело их использовать, нужно правильно их считать, в чём помогут несколько полезных формул.

Обратная задача на проценты

Обратной задачей на проценты называют такую, в которой за неизвестные выступают количество лет или процентная ставка.

Задача 2. Вкладчик взял в кредит 3000 рублей и должен вернуть через пять лет. Найти процентную ставку кредита, если известно, что нужно отдать банку 8100 грн.

Решение: Выведем формулу для этой задачи.P=P*(1+n/100*r); P/P=1+n/100*r; n= (P/P-1)/r*100.Выполняем вычисления по выведенной формулеn= (8100/3000-1)/5*100=1,7/5*100=34 (%). Следовательно, процентная ставка кредита составляет 34 %. Если в обратной задачи на проценты нужно найти количество лет, то нужная формула на основе предыдущих выкладок будет выглядетьr= (P/P-1)/n*100

Механизм работы

До сих пор мы рассматривали работу сложного процента в теории. Рассмотрим, что они из себя представляют на практике, на примере банковских депозитов и инвестиций.

На примере банковского депозита

При выборе банковского депозита вкладчик должен обращать внимание на несколько параметров: надежность банка, его участие в государственной системе страхования, условия пополнения и снятия денег, минимальная сумма на счете. Но главный из них – процентная ставка и условия ее начисления

Механизм сложных процентов подключен к вкладам с капитализацией процентов. А сама ставка, которая будет действовать на вашем счете, называется эффективной. Если вы не планируете снимать начисленный доход в течение всего срока накопления, то логично выбрать вклад именно с капитализацией.

Сравним полученный доход по депозиту с начислением процентов ежегодно, ежеквартально, ежемесячно и ежедневно. Первоначальные условия:

• сумма – 400 000 ₽;
• % ставка – 4 % годовых;
• срок вклада: 1, 2 и 3 года.

Сумма, которую получит вкладчик в конце срока, составит:

Срок депозита	Начисление процентов
1 раз в год	1 раз в квартал	1 раз в месяц	1 раз в день
1 год	416 000	416 241,6	416 296,62	416 323,38
2 года	432 640	433 142,68	433 257,18	433 312,9
3 года	449 945,6	450 730,01	450 908,75	450 995,73

В инвестициях

Сложный процент работает не только в банковской, но и в инвестиционной сфере. Если в банках процесс начисления процентов на проценты называют капитализацией, то в инвестициях – реинвестированием, т. е. повторным инвестированием. Но суть остается одинаковой.

Долгосрочные инвесторы хорошо знакомы с механизмом сложных % и стараются его использовать по максимуму. Рассмотрим, как он работает в различных инвестиционных инструментах.

Облигации

Доходность облигации складывается из двух источников – рост котировок и купоны. Последние выплачиваются в виде % от номинала ценной бумаги. Как правило, раз в полгода.

Эффект сложного процента можно наблюдать на купонных выплатах, но только в одном случае – если вы полученную прибыль не тратите на текущее потребление, а повторно вкладываете в инвестиции, т. е. реинвестируете. Понятно, что на доход от одной облигации мало что можно купить. Но если ценных бумаг несколько десятков или сотен, то сумма достаточна для покупки еще нескольких облигаций.

Из книги вы узнаете, как устроен мир прибыльного инвестирования

Скачать книгу

Например, владелец одной ОФЗ-26212-ПД 2 раза в год будет получать по 35,15 ₽. За год заработает 70,3 ₽. На эти деньги нельзя купить новую ОФЗ. Если облигаций не одна, а, например, 50 штук, то за год доход составит 3 515 ₽. Можно купить еще 3 ОФЗ за 1 085,81 ₽/шт. (котировка на 27.10.2020).

Если вы не держите облигацию до погашения, а пытаетесь заработать на росте котировок, то и в этом случае полученную прибыль от перепродажи лучше реинвестировать для включения механизма сложных %.

Акции

Точно такой же эффект, как описанный в предыдущем примере, может давать реинвестирование дохода от акций в покупку новых акций. Для этого полученные дивиденды не надо выводить со счета, а повторно инвестировать.

Не все эмитенты выплачивают дивиденды. Некоторые инвесторы покупают в свои инвестиционные портфели акции роста, т. е. бумаги, которые в перспективе могут вырасти в цене. Купил дешевле, продал дороже – одна из стратегий инвестирования. Сложный % заработает, если на полученную прибыль от перепродажи увеличится капитал в инвестициях, а не количество вещей в гардеробе.

Аналогично механизм “снежного кома” работает и с другими инструментами инвестиций. Эффект можно усилить, если инвестировать на ИИС, тогда каждый возврат подоходного налога (максимум 52 000 ₽ в год) необходимо опять возвращать на брокерский счет и покупать ценные бумаги.

Альтернативный метод вычислений

Представим один процент не десятичной, а простой дробью — 1/100. Аналогично можно записать любое количество процентов. Так, 10 % — это 0,1 или 1/10, 25 % — 0,25 или 25/100=1/4 и так далее. Следовательно, найти 10 % от числа довольно просто — нужно разделить исходное число на 10. Таким способом удобно вычислять 20, 25 и 50 процентов:

• 20 % — это 1/5, значит, нужно делить на 5 исходное число.
• 25 % — 1/4, нужно делить на 4.
• 50 % — это 1/2, просто делить на два.

Но не всякий процент удобно рассчитать таким методом. К примеру, 33 % — это 33/100, что при записи десятичной дробью дает 0,3333 с бесконечным количеством троек после запятой.

Если возникают сомнения в правильности проводимых расчетов, всегда можно проверить себя на калькуляторе, который сейчас есть в любом мобильном устройстве и на любом компьютере.

В прошлом видеоуроке мы рассматривали решение задач на проценты с помощью пропорций. Тогда по условию задачи нам требовалось найти значение той или иной величины.

В этот раз исходное и конечное значения нам уже даны. Поэтому в задачах будет требоваться найти проценты. Точнее, на сколько процентов изменилась та или иная величина. Давайте попробуем.

Итак, решаем через пропорцию. Первый шаг — исходная цена была равна 3200 рублей. Следовательно, 3200 рублей — это 100%.

Кроме того, нам дана конечная цена — 4000 рублей. Это неизвестное количество процентов, поэтому обозначим его за x
. Получим следующую конструкцию:

3200 — 100%
4000 — x
%

Что ж, условие задачи записано. Составляем пропорцию:

Дробь слева прекрасно сокращается на 100: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. Кроме того, можно сократить на 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10. Получим следующую пропорцию:

Воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Получаем:

8 · x
= 100 · 10;
8x
= 1000.

Это обычное линейное уравнение. Отсюда находим x
:

x
= 1000: 8 = 125

Итак, мы получили итоговый процент x
= 125. Но является ли число 125 решением задачи? Нет, ни в коем случае! Потому что в задачи требуется узнать, на сколько процентов была повышена цена на кроссовки.

На сколько процентов — это значит, что нам нужно найти изменение:

∆ = 125 − 100 = 25

Получили 25% — именно настолько была повышена исходная цена. Это и является ответом: 25.

Основные определения

Когда мы сравниваем разные части целого, мы используем такие понятия, как половина (1/2), треть (1/3), четверть (1/4). Это удобно: отрезать половину пирога, пройти треть пути, закончить первую четверть в школе.

Чтобы сравнивать сотые доли, придумали процент (1/100): с латинского языка — «за сто».

Процент — это одна сотая часть от любого числа. Обозначается вот так: %.

Чтобы узнать, как перевести проценты в дробь, нужно убрать знак % и разделить число на 100, как в примере выше.

А если нужно перевести десятичную дробь в проценты — умножаем дробь на 100 и добавляем знак %. Например:

0,18 = 0,18 · 100% = 18%.

А вот, как перевести проценты в десятичную дробь — обратным действием:

18 : 100 = 0,18.

Выразить дробь в процентах просто. Для перевода сначала превратим её в десятичную дробь, а потом используем предыдущее правило:

В детской школе Skysmart ученикам помогает считать проценты веселый енот Макс. Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем. А еще развивающие игры, квесты и головоломки на любой возраст и уровень.

Как на калькуляторе посчитать проценты

Лайфхак для подсчета процентов

Британец Бен Стефенс поделился в своем Twitter простым математическим трюком, существенно упрощающим подсчет процентов без калькулятора. Его можно сформулировать так: «А процентов от В — это то же самое, что В процентов от А».

Вроде бы ничего особенного, но в некоторых случаях помогает и еще как. Например, попробуй быстро посчитать сколько будет 16 % от 25. А 25 % от 16? И в том, и в другом случае ответ 4, но справиться со вторым примером, согласись, куда проще.

«Имею диплом математика и никогда об этом не задумывался», — пишут под твитом Бена одни пользователи. «Попробуй так найти 63 % от 11», — ехидничают другие. Что же, способ Бена действительно лучше работает с числами кратными 0 или 5. А 63 % от 11 будем находить по старинке.

Как вычислить процент от числа

Первый способ. Умножь процент и число друг на друга, а затем раздели на 100.
63 % от 11
63х11/100 = 693/100 = 6,93

Второй способ. Раздели число на 100 и умножь на процент.
63 % от 11
11/100 = 0,11 0,11х63 = 6,93

Кстати, легко умножать в уме любые двузначные числа на 11 мы научились в статье о приемах устного счета.

А если вместо 63 % от 11 найти 11 % от 63? На мой взгляд, лайфхак Бена вполне применим и здесь.
63 % от 11 — это то же, что и 11 % от 63
11 % = (10+1) %
63/10 = 6,3
63/100 = 0,63
6,3+0,63 = 6,93

Как узнать процент скидки

Пачка стирального порошка стоила в магазине 400 рублей. Сегодня в магазине скидки и на ценнике стоит 372 рубля. Как определить размер скидки в процентах?

Тут нужно составить пропорцию. Примем цену без скидки за 100 %, а цену со скидкой за х %. Тогда будет справедливым следующее равенство:
400/372 = 100/х
отсюда х = 372х100/400 = 93 %
Соответственно скидка составляет 7 %.

Узнаем процент с помощью калькулятора

Чтобы узнать процент от числа, введи число, знак умножения, затем нужный процент и знак %. Для задачи с порошком 7 % от 400 находим так: 400 × 7 %

Если нужно узнать цену после скидки, набери на калькуляторе: 400 — 7 %.

Небольшая подсказка: чтобы долго не искать калькулятор в меню смартфона, воспользуйся адресной строкой браузера (подойдет как «Яндекс», так и Google).

Как вычислить сложный процент с помощью онлайн-сервиса

Не все проценты можно посчитать, даже вооружившись нашей инструкцией.

Проценты по вкладам, доходность инвестиций, переплата по ипотеке — всё это проще вычислить, воспользовавшись удобными онлайн-сервисами.

Так, кредитный калькулятор в одно нажатие кнопки позволит рассчитать стоимость кредита, ежемесячные платежи погашения займа, полную сумму переплаты. А калькулятор сложных процентов поможет с начислением сложных процентов в банковском депозите (когда по окончании каждого периода начисленные проценты становятся основной суммой).

Яркие ценники, сигнализирующие о скидках, способны привлечь каждого. Но нужно быть бдительным. Ведь за пестрой россыпью процентов со знаком минус ушлые маркетологи иногда умудряются сбыть нам товар даже по более высоким ценам, чем до распродажи. А не попасться в их ловушки, сохранить деньги и сделать жизнь чуточку проще тебе, надеюсь, позволят наши полезные советы.

Ход урока

I. Организационный этап.

Проверяется подготовленность классного помещения и готовность учащихся к уроку. Здравствуйте ребята! Я рада вас видеть.

Сообщается тема урока Слайд 1 (учащиеся записывают дату в тетради) и эпиграф Слайд 2. Сегодня мы с вами заканчиваем изучать тему: «Проценты». А эпиграфом урока будут слова математика и педагога Джорджа Пойа(1887-1985) – Елсивыохтитеначуитьсяплваать,то смлеовхдоитеввдоу,аеслихтоитеначуитьсяреаштьзаадчи,торшеайтеих.

Эпиграф на слайде зашифрован: наш мозг способен отделять верное от ошибочного, проверьте себя! «Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!»

Рассказывает ученик:Биографическая справка. Джордж Пойа (George Polya, 1887-1985) – математик с мировым именем. Родился в Будапеште. В отечественной литературе известен как Георг Полиа (немецкий вариант его имени и фамилии). В предвоенные годы работал в Швейцарии, Англии и Германии. Затем, как и многие другие учёные, вынужден был покинуть Европу и переехать в США. Сферой его научных интересов были такие области математики, как теория чисел, комбинаторика, теория вероятностей. Пойа большую часть своей научной карьеры провёл в ранге профессора математики в знаменитом Стэнфордском университете в США.

Историческая справка о проценте: (презентация по гиперссылке «Нажми»), читает ученик.

Ставится задача:Сегодня на уроке мы вместе вспомним понятие процента. Конечно же, решим задачи на эту тему. Нам в этом поможет мультигерой. Слайд 4 Узнали?

Тема мультигероя взята не случайно. Это как напоминание о том, что бояться процентов смешно.

II. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.

1. Фронтальная работа.Ответьте на вопросы:

Как найти 1% от числа? Сформулируйте правила перевода % в десятичную дробь; десятичную дробь в %; обыкновенные дроби в десятичные и в %.

Слайд 6, 7

Задания решают на доске три ученика, остальные в тетрадях, потом проверить. (Или устно)

а) Замените проценты десятичной дробью.

• 6%=0,03;
• 33%=0,33;
• 1,7%=0,017;
• 113%=1,13;
• 96%=0,96

б) Замените десятичную дробь процентами.

• 0,019=1,9%;
• 0,44=44%;
• 8,5=850%;
• 2,02=202%;
• 0,007=0,7%

в) Замените обыкновенную дробь десятичной, а потом – в проценты.

• 1/8=0,125=12,5%;
• 3/5=0,6=60%;
• 5/4=1,25=125%;
• 1/5=0,2=20%;
• 12/25=0,48=48%.

Самостоятельная работа в парах.

Слайд8

III. Закрепление. Индивидуальная работа.

Задачи решают на доске или устно с пояснениями.

а) Спанч Боб получил 6000 руб. 60% заплатил за медуз. Сколько рублей он заплатил? Сколько рублей у Боба осталось?

б) В морской школе 160 детенышей морского конька — это 60% всего числа детенышей. Сколько детенышей в этой школе?

Опрос одного ученика, а все остальные помогают ему и дополняют ответ. Ответы учеников на первый вопрос I задачи могут быть двух видов:

Первый : Чтобы найти число надо узнать, сколько приходится на 1%, для этого6000 разделить на 100, а потом результат умножить на 60.

Второй :Чтобы найти часть от числа, надо 60% выразить в десятичную дробь и найти дробь от числа 6000

VIII. Подведение итогов урока.

1. Повторение алгоритмов решения изученных задач. Работа у доски более подготовленных учеников в паре.

2. Выставление оценок. Рефлексия.

Литература:                                                    

1. Зубарева, А.Г. Мордкович Математика 6 класс. – М.: Мнемозина, 2007.
2. Мегаэнциклопедия Кирилла и Мефодия: mega.km.ru
3. Сайты «Энциклопедии энциклопедий», например: www.encyclopedia.ru
4. Энциклопедия. Я познаю мир. Великие ученые. – М.: ООО «Издательство АСТ», 2003.
5. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: учебник для 5 кл. общеобразоват. учреждений – М.:Мнемозина, 2008.
6. Игровой развлекательный диск “Мир головоломок. Занимательная математика”. ЗАО «Новый диск» Falcson-technology, 2003. — КАРТИНКИ

Составление пропорции

Пропорция — определенное соотношение частей между собой.

С помощью метода пропорции можно рассчитать любые %. Выглядит это так:

a : b = c : d.

Читается: a относится к b так, как с относится к d

Также важно помнить, что произведение крайних членов равно произведению средних. Чтобы узнать неизвестное из этого равенства, нужно решить простейшее уравнение

Рассмотрим пример. На сколько выгодно покупать спортивную футболку за 1390 рублей при условии, что в магазине в честь дня всех влюбленных действует скидка 14%?

Как решаем: Узнаем сколько стоит футболка сейчас в % соотношении: 100 — 14 = 86, значит 1390 рублей это 86%. Составим пропорцию: 1390 : 100 = х : 86, х = 86 * (1390 : 100), х = 1195,4. 1390 — 1195,4 = 194,6.

Ответ: купить спортивную футболку выгоднее на 194,6 рубля.

Как посчитать проценты: примеры

Деление числа на 100

При делении на 100 получается 1% от этого числа. Это правило можно использовать по-разному. Например, чтобы узнать процент от суммы, нужно умножить их на размер 1%. А чтобы перевести известное значение, следует разделить его на размер 1%. Этот метод отлично помогает в вопросе, как перевести целое число в проценты.

Представьте, что вы пришли в магазин за шоколадом. Обычно он стоит 250 рублей, но сегодня скидка 15%. Если у вас есть дисконтная карта магазина, шоколад обойдется вам в 225 рублей. Чем будет выгоднее воспользоваться: скидкой или картой?

Как решаем: Переведем 15% в рубли: 250 : 100 = 2,5 — это 1% от стоимости шоколада, значит 2,5 * 15 = 37,5 — это 15%. 250 — 37,5 = 212,5. 212,5 < 225.

Ответ: выгоднее воспользоваться скидкой 15%.

Пропорция

Нередки случаи, когда необходимо решить задачи на проценты, используя пропорцию. На самом деле этот метод нахождения результата в значительной мере облегчает задачу учащимся, преподавателям и не только.

Итак, что такое пропорция? Под этим термином понимается равенство двух отношений, которые можно выразить следующим образом: А/_В = С/_D.

В учебниках математики значится такое правило: произведение крайних членов равняется произведению средних. Это выражается следующей формулой: А х D = В х С.

Благодаря этой формулировке, можно вычислить любое число, если три других члена пропорции известны. К примеру, А – неизвестное число. Чтобы его найти, нужно

При решении задач методом пропорции необходимо понимать, от какого числа брать проценты. Бывают случаи, когда доли нужно взять от разных величин. Сравните:

1. После окончания распродажи в магазине стоимость футболки возросла на 25% и составила 200 рублей. Какова была стоимость во время распродажи.

Решение:

В данном случае нужно величина 200 рублей соответствует 125% от первоначальной (распродажной) цены футболки. Тогда, чтобы узнать ее стоимость во время распродажи, нужно (200 х 100) : 125. Получится 160 рублей.

2. На планете Виценция 200 000 жителей: люди и представители гуманоидной расы Наави. Наави составляют 80% от всего населения Виценции. Из людей 40% заняты обслуживанием рудника, остальные добывают тетаниум. Сколько людей добывают тетаниум?

Решение:

В первую очередь нужно найти в численном виде количество людей и количество Наави. Так, 80% от 200 000 будет равняться 160 000. Столько представителей гуманоидной расы проживает на Виценции. Количество людей, соответственно, равняется 40 000. Из них 40%, то есть 16 000, обслуживают рудник. Значит, 24 000 людей занимаются добычей тетаниума.